Respuesta de sitio en un estrato de suelo: un modelo de diferencias finitas verificado contra la solución cerrada
Propagación de una onda de corte en un estrato de 30 m sobre roca, resuelta por diferencias finitas y contrastada con la función de transferencia teórica. El modelo reproduce la frecuencia fundamental de 1,67 Hz y la amplificación de 5,05 con un error máximo de 0,17 %.
La amplificación de las ondas sísmicas en un depósito de suelo es uno de los efectos que más cambian la demanda sobre una estructura. La NSR-10 la incorpora en el espectro de diseño con los coeficientes de sitio Fa y Fv, que resumen el comportamiento de familias de perfiles. Cuando el perfil se sale de esas familias o el proyecto requiere un estudio particular de sitio, la respuesta se calcula con un modelo del depósito, y antes de usar ese modelo hay que comprobar que resuelve bien la ecuación de onda. Esta nota muestra esa comprobación en el caso más simple que tiene solución cerrada.
El caso de referencia
Se analiza un estrato homogéneo de H = 30 m, con velocidad de onda de corte Vs = 200 m/s y densidad ρ = 1,9 t/m³, apoyado sobre roca con Vr = 800 m/s y ρr = 2,4 t/m³. Para una onda de corte que llega verticalmente desde la roca, la relación entre el movimiento en la superficie del estrato y el de la roca aflorante es
|A(f)| = 1 / √( cos²(kH) + α² sen²(kH) ), con k = 2πf / Vs y α = ρVs / (ρrVr)
Con los datos del caso, la relación de impedancias es α = 0,198. Los picos de la función ocurren en fn = (2n − 1)Vs/4H, es decir 1,67 Hz para el modo fundamental y 5,00 Hz para el segundo, y sin amortiguamiento su valor es 1/α = 5,05.
El modelo numérico
La ecuación de onda unidimensional se resolvió en Python por diferencias finitas explícitas, con 300 elementos de 0,10 m y un paso de tiempo de 0,2 ms, que corresponde a un número de Courant de 0,4. La superficie se modela como frontera libre de esfuerzos. En la base se usa una frontera transmisora de Lysmer, que introduce la onda incidente y deja salir hacia la roca la energía reflejada; su amortiguador se trata de forma implícita para que el esquema sea estable con ese paso de tiempo. La excitación es un pulso de Ricker de 3 Hz y se simulan 12 s de respuesta.
La función de transferencia numérica se obtiene como el cociente entre los espectros de Fourier de la velocidad en la superficie y de dos veces la onda incidente, que es el movimiento de la roca aflorante.
Resultados
El modelo ubica el primer pico en 1,665 Hz con amplitud 5,053, frente a 1,664 Hz y 5,052 de la solución cerrada. El segundo pico aparece en 4,996 Hz con amplitud 5,052. En toda la banda entre 0,3 y 6 Hz el error relativo máximo frente a la solución teórica es de 0,17 %, y en la banda del modo fundamental es de 0,08 %.
La figura muestra a la izquierda cómo el pulso sube por el estrato, se refleja en la superficie y queda atrapado por el contraste de impedancias, y a la derecha la función de transferencia numérica sobre la teórica.
Alcance
El caso no tiene amortiguamiento ni no linealidad del suelo, y por eso la amplificación de 5,05 es un valor superior. Con un amortiguamiento histerético ξ el pico del modo fundamental baja aproximadamente a 1/(α + πξ/2); para ξ = 5 % el valor pasa a 3,6. El análisis lineal equivalente y el no lineal parten de este mismo esquema, con propiedades que dependen de la deformación, y solo tiene sentido aplicarlos sobre un motor numérico que ya reprodujo el caso elástico.
Este ejercicio hace parte de los casos de verificación de DIADICA Synthetic Core en geotecnia computacional, y es también uno de los ejemplos que se resuelven en los cursos de DIADICA Academy.
